matematiksel kümeler

Matematikte küme, `eleman` adı verilen, kesin olarak tanımlanamayan, nesne öbekleşmesiyle ilgili sezgisel düşünceye karşılık olan kavramı belirtir. Kümeler kuramı, her matematiksel yapının temelinde bulunur ve sözcük dağarcığı, modern matematiğin dilimini oluşturur. Aynı zamanda yürütülen iki tür araştırma, matematikçileri kümeleri incelemeye yöneltmiştir. Bu araştırmaların en eskisi, dil ve düşünceyi biçimselleştirmeye olanak sağlayan bir düzen bulma çabasıdır. Bu alanda çalışan bilginlerin başlıcaları, Leibniz ve George Boole`dur Matematiksel çözümleme ve cebir yöntemlerinden esinlenerek mantığı biçimselleştirmeyi amaç alan Boole, modern mantığın gerçek yaratıcısı sayılabilir. XIX. yy`da Bolzano, özellikle de Cantor gibi matematikçilerle araştırma, matematiksel çözümlemenin temellerine, yan fonksiyonları .

“Matematikte küme, `eleman` adı verilen, kesin olarak tanımlanamayan, nesne öbekleşmesiyle ilgili sezgisel düşünceye karşılık olan kavramı belirtir. Kümeler kuramı, her matematiksel yapının “

Matematikte küme, `eleman` adı verilen, kesin olarak

Matematikte küme, `eleman` adı verilen, kesin olarak tanımlanamayan, nesne öbekleşmesiyle ilgili sezgisel düşünceye karşılık olan kavramı belirtir. Kümeler kuramı, her matematiksel yapının temelinde bulunur ve sözcük dağarcığı, modern matematiğin dilimini oluşturur. Aynı zamanda yürütülen iki tür araştırma, matematikçileri kümeleri incelemeye yöneltmiştir. Bu araştırmaların en eskisi, dil ve düşünceyi biçimselleştirmeye olanak sağlayan bir düzen bulma çabasıdır. Bu alanda çalışan bilginlerin başlıcaları, Leibniz ve George Boole`dur Matematiksel çözümleme ve cebir yöntemlerinden esinlenerek mantığı biçimselleştirmeyi amaç alan Boole, modern mantığın gerçek yaratıcısı sayılabilir. XIX. yy`da Bolzano, özellikle de Cantor gibi matematikçilerle araştırma, matematiksel çözümlemenin temellerine, yan fonksiyonları ve gerçek sayıları incelemeye yönelmiş, Cantor, çalışmalarında sonsuz kümeleri ve kümelerin eşdeğerliliğini inceleyerek, modern kümeler kuramının başlangıcı ve hareket noktası sayılabilecek bir yapı oluşturmuştur. Kümeleri incelerken eleman sözcüğünden ve `.........nın elemanıdır` ya da ` ...................ye aittir` biçiminde okunan `e` simgesinden yararlanılabilir; tanımlanması olanaksız bu sözcüklerin, ancak kullanım kuralları verilebilir. Sözgelimi `bir küme, bir nesnelertopluluğudur` ifadesi, soruna yeterli bir açıklama getirmez; çünkü bu kez, topluluk ve nesne sözcüklerini tanımlamak gerekir. Bir a elemanının E kümesinin elemanı olduğunu ya da a`nın E`ye ait olduğunu belirtmek için a e E ifadesi yazılır; a`nın E kümesinin bir elemanı olmadığını göstermek için de, a |£( A ifadelerinden yalnız biri geçerlidir. Bir küme, elemanları verilerek tanımlanır; iki kümenin eşit olması içinse, aynı elemanlardan oluşması gerekli ve yeterlidir. Ayrıca, bir A kümesi ve P özelliği verilmiş­ se, A`nın elemanlarından oluşan ve P özelliği taşıyan bir B kümesi tanımlanabilir. Birkaç küme örneği vermek gerekirse: Abecenin harflerinin kümesi, A= ja, b, c, ç, d, e, f, g, ğ, h, ı, i, j, k, I, m, n, o, ö, p, r, s, ş, t, u, ü, v, y, z}, N doğal tamsayılar kümesi, N= jO, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} kümesi; bu kü­ me {X e N, X <12| biçiminde yazılabilir ve `N`nin 12`den küçük elemanlarının kümesi` diye okunur. Bütün elemanları bir A kümesinin elemanları olan B kümesi, A`nın bir altkümesi ya da parçasıdır ve Bc A bi­ çiminde yazılır. Dolayısıyla, bir küme, kendisinin altkü- mesidir denebilir. Son olarak,|hiçbirelemanı olmayan ve 0 simgesiyle belirtilen boş bir kümenin varlığı da benimsenmektedir. Bir elemanı bir noktayla göstermek ve kümenin elemanlarını kapalı bir eğri içine almak, kolaylık sağlar. Bu tür gösterilişe `Venn diyagramı` ya da `Euler diyagramı` adı verilir. Lewis Carroll da, kümeyi bir kareyle göstermiş ve bir altkümenin elemanlarını, bu altkümeye ait olmayan elemanlardan bir çizgiyle ayırmıştır. Bu şemalar yalnızca matematiksel nesneleri tasarlama olanağı verir; ama kümeleri ve elemanları belirtemez. Parçaların (altkümelerin) kümesi. İki elemanlı {a, b} kü­ mesinde dört altküme ya da parça vardır; bu parçalar 0 , {a}, {b}, ja,b}dir. Üç elemanı olan {a, b, cjkümesininse sekiz `altkümesi bulunur: 0 , {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}. Görüldüğü gibi, her eleman artışında, parçaların ya da altkümelerin sayısı iki katına çıkar. Dolayısıyle, n elemanı bulunan bir kümenin 2n parçası vardır. PARÇALAR KÜMESİNDE CEBİR Bir kümenin parçalarını eleman alan bir küme göz önü­ ne alındığında, bu kümede Boole cebirini oluşturan iş­ lemler tanımlanabilir. Bir kümenin tümleri. Bir kümede bir parça (altküme) tanımlamak, aynı zamanda kalan elemanlardan oluşmuş bir tümler parça tanımlamak demektir. (Dolayısıyla, N doğal tamsayılar kümesinde, çift sayılar altkümesinin tümleri, tek sayılar altkümesidir. E`nin parçası olan bir A kümesinin tümleri, E kümesinin A`da bulunmayan elemanlarıyla kurulmuş kümedir. A`nın tümleri genellikle A ya da CEA biçiminde belirtilir. Yukarda verilen tanım şu biçimde yazılır: A = |X eE, x ı£ A}. Tümler kavramı, üç elemanlı kümede altkümeleri ikişer ikişer birbirine bağlamaktadır. 0 j< ---------> {a, b, c} {a} < --------- > |b, c} bj < ---------> {a, c jc} < --------- > {a, b| Ayrıca, A kümesinin tümlerinin tümleri, A kümesinden başka şey değildir; E kümesinin kendisine göre tümleriyse, 0 boş kümesidir. İki kümenin arakesiti. A ve B kümelerinin AiiT B arakesiti A ile B`nin ortak elemanlarından oluşan kümedir ve şu biçimde yazılır: A D B = {x e E, x e A ve x e B|. Sözgelimi A = {18, 9, 6, 3, 2,1} ve B =|{45,15,9,5,3,1} olursa A fi B = {9, 3, 1} olur. İki kümenin bileşimi. A ve B kümelerinin A U B bileşimi, A ile B`nin bütün elemanlarından oluşan kümedir ve şöyle yazılabilir: A U B = {x e E, x e A ya da x e B} Arakesitte verilen aynı sayısal örnek alınırsa, A U B = {45, 18, 15, 9, 6, 5, 3, 2, 1} elde edilir. Bir kümenin parçaları söz konusu olduğundan, arakesit bileşimine göre, bileşim de arakesite göre dağılmalıdır: A U (B D C) = (A U B) D (A U C), ve A fi (B U C)= (a n B) u (A n o. İki kümenin bakışımlı farkı. A ve B kümelerinin A AIB bakışımlı farklı, ya A kümesine ya B kümesine ait olan, ama asla ikisine birden ait olmayan elemanların oluş­ turduğu kümedir. Yukarda sözü geçen örneğe göre, AAB = {45, 15, 18, 5, 6, 2} elde edilir. İki kümenin bileşiminin tümleri, bu kümelerin tümlerinin arakesitine eşittir; arakesitlerinin tümleriyse, kü­ melerin tümlerinin bileşimine eşittir. Bu tanımlar Morgan yasalarıdır ve aşağıdaki biçimde yazılır: A U B = A D B, ve A D B = A U B Bileşim ve arakesit işlemleriyle donatılmış bir E kü­ mesinin parçalarının kümesi, Boole cebirini oluşturur. Bir E kümesinin parçalanması. Bir E kümesinin parçalar ya da altkümeler sınıfı, iki farklı parçanın ortak elemanları yoksa ve E`nin her elemanı bir başka parçada yeralmışsa, E`nin parçalanmasını oluşturur. Matematiksel parçalama bir sınıflandırmadır ve bütün nesneler ya da elemanlar, bir yerde yalnızca bir kez yeralmak zorundadır. BAĞINTILAR İki kümenin kartezyen çarpımı. İki A ve B kümesi ele alındığında: A = {as, papaz, dam, vale, onlu, dokuzlu}; B = {sinek, kare, kupa, maça} Bu iki kümenin kartezyen çarpımı yapılabilir; yani A`nın bir elemanıyla B`nin bir elemanından oluşmuş çiftlerin kümesi elde edilebilir. Bu çarpım kümesi, A x B ifadesiyle gösterilir. Düzlem üstünde kartezyen koordinatlar, kümelerin çarpımının bir örneğini verir ve işlem, R gerçek sayılar kümesinin kendisiyle çarpımıdır. Kümeler arasında ikili bağıntılar. Bağıntıların kuruluşu bir başlangıç ya da kaynak kümesini, bir varış ya da amaç kümesini ve bir çiftler kümesini, yani ilk iki kümenin kartezyen çarpımının altkümesini varsayar. Kaynak kümesinin birinci elemanı ile varış kümesinin ikinci elemanının oluşturduğu çift, verilen çarpımın altkümesinde bulunursa, bu iki eleman arasında bağıntı vardır denir. İkili bir bağıntı birçok biçimde, sözgelimi bir çizelgeyle ya da Venn diyagramıyla gösterilebilir. Bir bağıntının karşıt bağıntısı, görevler ters çevrilerek elde edilir: Başlangıç kümesi varış, varış kümesi de baş­ langıç kümesi olur; karşıt bağıntı çiftlerinin kümesi, çiftlerden her birinin iki bileşeni değiş tokuş edilerek oluş­ turulur. İki bağıntıyı grafik olarak birleştirme olanağı vardır: Bileşik bağıntıyı elde etmek için bu bileşimin olanak verdiği okları uç uca getirmek yeterlidir. Bir kümenin kendisine dönük bağıntıları. Başlangıç ve varış kümeleri özdeş olmak koşuluyla, bağıntılar aşağı­ daki özelliklerden birini ya da ötekini taşır: X elemanı ne olursa olsun, (X, X) çifti bağıntıya tekabül eden çiftler kümesinde bulunursa, bağıntı yansımalıdır; X ve y elemanları ne olursa olsun, (X, y) çifti hem çiftler kümesinin, hem bağıntının elemanıysa, bağıntı bakı­ şımlıdır; herhangi (X, y) çifti, çiftler kümesine ait olur ve bağıntı da bulunmazsa, bağıntı bakışımsızdır; (X, y) ve (y, z) çiftleri, çiftler kümesine ait olduğunda, (x, z) çifti aynı kümede bulunursa, bağıntı geçişlidir. Eşdeğerlik bağıntıları ile sıra bağıntıları birbirinden ayrılır. Eşdeğerlik bağıntısının yansımalı, bakışımlı ve geçişli olma özelliği vardır. Eşitlikle gösterilen bütün ba­ ğıntılar buna örnek verilebilir. Sıra bağıntılarıysa yansı­ malı, bakışımsız ve geçişlidir. Doğal tamsayıların N kü­ mesinde/ |< (küçük ya da eşit) işaretiyle gösterilen ya da `katıdır` ifadesiyle belirtilen bağıntılar, sıra bağıntıları­ dır. BİR KÜMENİN BİR BAŞKA KÜME İÇİNDEKİ UYGULAMASI Uygulama, başlangıç kümesinin her elemanını, varış kümesinin bir tek elemanıyla birleştiren özel bir bağıntı­ dır. Sözgelimi başlangıç kümesi E = {a, b, c, d, e} ve varış kümesi F= |x, y, z, t} olursa, uygulama {(a,y), (b,t), (c,z),(d,x), (e,t)} çiftler kümesiyle tanımlanır. Başlangıç ve varış kümeleri doğal tamsayıların N kü­ mesi olursa, her tamsayıyı üçlüsüyle birleştiren bir uygulama göz önüne alınır. İki uygulamanın bileşimi. B kümesinde A kümesinin f uygulaması ve C kümesinde B kümesinin g uygulaması varsa, bu iki uygulamanın g o f bileşimi, A`nın C`deki bir uygulamasıdır ve A`nın her elemanını, B`deki karşılığı- . nın karşılığıyla birleştirir. 1 Bir E kümesinin F kümesindeki uygulaması, E`nin iki ayrı elemanının iki ayrı görüntüsü sürekli F`de bulunujyorsa ya da F`nin herhangi bir elemanı E`nin en çok bir | elemanının görüntüsü olursa, `enjektifl uygulama` ya ı da `enjeksiyon` diye adlandırılır. Ayrıca, iki enjektif uygulamanın bileşimi yine bir enjeksiyondur. E kümesinin F kümesindeki uygulamasına, F`nin her elemanı E`nin en az bir elemanının görüntüsü olursa, `sürjektif uygulama` ya da `sürjeksiyon` denilir; iki sürjektif uygulamanın bileşimi de bir sürjeksiyondur. Hem enjektif, hem de sürjektif olan bir uygulamaya, `bijeksiyon` (tameşleme) ya da `bijektif uygulama` adı verilir ve bijektif iki uygulamanın bileşimi de bir bijeksiyondur. Başlangıç kümesinin eleman sayısı n ile, varış kümesinin eleman sayısı p ile gösterilirse, bu iki küme arasınK i r K ü p l/c ıv /i^ r» k ı ı l ı ı n m o c ı i/~ir» n = r û n i û l / c n K ı ı- u cS k j 11 k / ı j C K j ı y u ı ı l / u i u i ıı ı i u j i M yiıı 1 1 f-/^ v-ı ı j ^ ı j ı j ı v ı 1 lunması için n < p ve sürjeksiyon bulunması için n > p olması zorunludur. Bir uygulamanın karşıtı. Genellikle bir uygulamanın karşıtı bir bağıntıdır; ama bir uygulama değildir. Uygulama olması için, varış kümesindeki her elemanın, baş­ langıç kümesinin bir tek elemanının görüntüsü olması gerekir; böyle bir koşulsa, başlangıç uygulamasının bijeksiyon olmasını zorunlu kılar. Bu kavramlar, modern matematiğin bütün alanlarında kullanılan temel kavramlardır ve çok çeşitli bilim dallarında yararlanılır.