ağırlık (matematik
.
“ağırlık (matematik) İstatistik verileri içinde, bazı sayıları öbürlerine oranla daha çok yeğleme durumunda kullanılan sayısal değer. Sözgelimi öğretmen 3 ara sınav ve 1 final sınavı “
ağırlık (matematik) İstatistik verileri içinde,
ağırlık (matematik) İstatistik verileri içinde, bazı sayıları öbürlerine oranla daha çok yeğleme durumunda kullanılan sayısal değer. Sözgelimi öğretmen 3 ara sınav ve 1 final sınavı yapar ve final sınavını çift sınav sayarsa, öğrencinin notu, ağırlıklı ortalamayla elde edilir. Ara sınav sonuçları 85, 75 ve 80, final sonucu 90`sa, ağırlıklı ortalama (85+75+80+(2x90l)]:5=420:5=84 olur. 90`ı 2`yle çırpma işlemi ağırlıköiye adlandırılır. Öbür bütün notların ağırlığı 1 `dir. Bu örnekte sayılar aynı ağırlıkta olsaydı, ağırlıklı ortalama aritmetik ortalamaya dönüşürdü.
koordinat sistemleri (matematik)
Bir noktanın konumunu bir sayı kümesiyle belirlemek için uygulanan yöntemleri topluca belirten terim. Kullanılan sayılara, o noktanın `koordinatları` denir. Bir koordinat sisteminde, her koordinat kümesine tek bir nokta denk düşer. Koordinat sistemleri, geometrik cisimlerin özelliklerini cebirsel yöntemlerle incelemek için analitik geometride kullanılır. Sınırlı sayıda serbestlik derecesi olan bir cisim, o türden bütün cisimler arasında düşünüldüğü zaman, bir koordinatlar (her serbestlik derecesi için bir tane) kü mesiyle, yani sayılar kümesiyle kolayca tanımlanabilir ve başka cisimlerden ayırt edilebilir. Sözgelimi, düzlem üstündeki bir noktanın iki serbestlik derecesi vardır; dolayısıyla, bu noktanın, düzlemin herhangi bir koordinat sistemine göre, iki koordinatı vardır. Birçok farklı koordinat sistemi vardır. Bir sorunun .
“Bir noktanın konumunu bir sayı kümesiyle belirlemek için uygulanan yöntemleri topluca belirten terim. Kullanılan sayılara, o noktanın `koordinatları` denir. Bir koordinat sisteminde, her koordinat “
Bir noktanın konumunu bir sayı kümesiyle belirlemek
Bir noktanın konumunu bir sayı kümesiyle belirlemek
için uygulanan yöntemleri topluca belirten terim. Kullanılan
sayılara, o noktanın `koordinatları` denir. Bir koordinat
sisteminde, her koordinat kümesine tek bir
nokta denk düşer. Koordinat sistemleri, geometrik cisimlerin
özelliklerini cebirsel yöntemlerle incelemek
için analitik geometride kullanılır.
Sınırlı sayıda serbestlik derecesi olan bir cisim, o türden
bütün cisimler arasında düşünüldüğü zaman, bir
koordinatlar (her serbestlik derecesi için bir tane) kü
mesiyle, yani sayılar kümesiyle kolayca tanımlanabilir
ve başka cisimlerden ayırt edilebilir. Sözgelimi, düzlem
üstündeki bir noktanın iki serbestlik derecesi vardır; dolayısıyla,
bu noktanın, düzlemin herhangi bir koordinat
sistemine göre, iki koordinatı vardır.
Birçok farklı koordinat sistemi vardır. Bir sorunun
geometrisi ve simetrisi, çoğunlukla uygun bir koordinat
sistemi ortaya koyacaktır. Sık kullanılan koordinat sistemleri,
ikiboyutlu uzayda kartezyen koordinatlar ve
kutupsal koordinatlar, üçboyutlu uzaydaysa kartezyen,
küresel ve silindirsi koordinatlardır.
İki boyutlu koordinat sistemleri. Düzlemde rastgele se
çilen herhangi bir O noktasından birbirine dik iki çizgi
çizilir; çoğunlukla bunların biri yatay, öbürü dikeydir.
Yatay çizgi sekseni, dikey çizgi yekseni olarak alınır ve
O noktasına `başnokta` denir. Başnoktanın sağ yanında
kalan x ekseni parçası `pozitif (artı) x ekseni`, baş-
noktanın yukarısında kalan yekseni parçasıysa `negatif
(eksi) yekseni` diye adlandırılır. Bu iki eksen (koordinat
eksenleri) düzlemi dört bölüme ayırır: Üst sağ (birinci),
üst sol (ikinci), alt sol (üçüncü) ve alt sağ (dördüncü) bö
lümler.
Düzlemdeki bir P noktasının x koordinatı yada
absisi, Pile yekseni arasındaki dik uzaklıktır. Pnoktası y
ekseninin sağındaysa, bu uzaklık artı, solundaysa, eksi,
yekseninin üstündeyse sıfırdır. Pnoktasının yekseni ya
da ordinatı, benzer biçimde, P ile x ekseni arasındaki
dik uzaklıktır. Bu da Pnin xekseninin yukarısında, aşa
ğısında ve üstünde bulunmasına göre artı, eksi ve sıfır
olur. (x, y) sıralı İkilisi, böyletanımlanan koordinat sisteminde
Pnin koordinatlarını temsil eder. Koordinatları
(x, y) olan P noktası, simgesel olarak P (x, y) biçiminde
gösterilir. Bu sistem, `ikiboyutlu ya da düzlem kartezyen
koordinat sistemi` diye adlandırılır (`kartezyen` terimi,
Rene Descartes`tan kaynaklanır).
İkiboyutlu kutupsal koordinat sistemi, `kutup` denilen
sabit bir Onoktasıyla bu noktadan geçen, başlangıç
çizgisi denilen bir eksenle belirlenir. Bu durumda, düzlemdeki
bir Pnoktası, iki nicelik belirlenerek saptanabilir.
Bu nicelikler, (1) eksenin Pden geçecek biçimde
saatin tersi yönde döndürüleceği 8 açısı ve (2) Pnoktası
ile kutup arasındaki pozitif r uzaklığıdır. Pnoktasını, r
ve 8 kutupsal koordinatlarında göstermek için, P(r, 0)
kullanılır.
P noktasının kartezyen gösterilişi P (x, y/yse, aynı
noktanın kutupsal koordinat sistemiyle gösterilişi de P
(r, 0/yse, kartezyen sistemin başnoktası ve x ekseni,
kutupsal koordinat sisteminin kutbuyla ve başlangıç
çizgisiyle çakışıyorsa, iki sistem arasındaki ilişki, x = r
cos 8, y = rsin ölve r= VxJ + y- tan8=y/xdenklemleriyle
gösterilir. Bu denklemlere, bir sistemden öbürüne
`dönüşüm denklemleri` denir.
Üç boyutlu koordinat sistemleri. Uzaydaki herhangi bir
O noktasından (başnoktadan) birbirine dik üç doğru
(koordinat eksenleri) çizilir. Bunlara `x` ekseni, `y` ekseni
ve `z` ekseni adları verilir; xve yeksenlerini içeren
düzlem, `xy düzlemi` (koordinat düzlemi) diye adlandırılır;
zekseniyse, bu düzleme dik bir doğrudur. Öbür
iki koordinat düzlemi de aynı biçimde tanımlanır. Pnoktasının x koordinatı, Pden yz düzlemine inen dikmedir.
/koordinatı ve z koordinatı da benzer biçimde
tanımlanır. Üç koordinat düzlemi, bütün uzayı sekiz
bölüme ayırır. P noktası birinci sekizlikte yer alıyorsa,`
Pnin bütün koordinatları pozitiftir.
Bu yolla belirlenen sistem, üç boyutlu kartezyen sistemdir;
sabit bir referans çerçevesine göre koordinatları
x, y, zolan Pnin kartezyen gösterimiyse P(x, y, z/dir.
Her noktaya, üç gerçek sayıdan oluşan bir küme denk
düşer.
Uzaydaki küresel koordinat sistemi, Pnoktasının yerini,
sabit bir O noktasına (kutba) olan uzaklığıyla ve OP
parçasının yönelimini tanımlayan iki açıyla belirleyen
sistemdir. Koordinat sistemi, (7dan geçen iki dik yarı-
doğruyla saptanır. Bunların biri kutup eksenidir ve iki
yarıdoğruyu içeren düzleme `başlangıç meridyeni
düzlemi` denir.Pnin küresel koordinatları^, 0, >/dur.
Burada r, OPnin uzunluğu, 0, başlangıç meridyeni
düzlemi ile kutupsal eksenden ve OPden geçen düzlem
arasındaki açı, 0 da kutup ekseni ile OParasındaki
açıdır. Küresel sistem çoğunlukla bir kartezyen sisteme
uyarlanır. Bu durumda kutup, başnokta olur; kutup ekseni
z ekseniyle, başlangıç meridyeni düzlemiyse xz
düzlemiyle çakışır. İki sistem arasındaki ilişki, x = r sin
(f), cos 0, y = r sin
matematik
Sayılar, geometrik sayılar, fonksiyonlar, uzaylar, vb. soyut varlıkların özellikleri ile aralarında kurulan bağıntıları inceleyen bilim dalı. Matematiğin ilk insanlarla birlikte ortaya çıktığı söylenebilir, değiş tokuş gereksinmesi, ticaret yapma isteği, toprak ölçme sorunları, insanları ilk matematik kavramlarını işleme ve kullanmaya yöneltmiştir. Yunanlılardan çok önce Sümer ve Mısır matematiklerinin varlığını gösteren belgelerden, alan hesabının, hattâ bazı çizgisel denklemlerin özel bir yazma biçimine başvurmadan pratik yoldan çözümünün bilindiği anlaşılmaktadır. Eski Yunanistan`da, Pythagoras, Thales, Eukleides ve Arkhimedes gibi eski birçok ünlü matematikçi yetişmiş tir. Elemanlar adlı ilk matematik yapıtını yazan Eukleides, bu yapıtında, o dönem matematiğinin yöntemli ve eksiksiz bir açıklamasını .
“Sayılar, geometrik sayılar, fonksiyonlar, uzaylar, vb. soyut varlıkların özellikleri ile aralarında kurulan bağıntıları inceleyen bilim dalı. Matematiğin ilk insanlarla birlikte ortaya çıktığı “
Sayılar, geometrik sayılar, fonksiyonlar, uzaylar,
Sayılar, geometrik sayılar, fonksiyonlar, uzaylar, vb. soyut varlıkların özellikleri ile aralarında kurulan bağıntıları inceleyen bilim dalı. Matematiğin ilk insanlarla birlikte ortaya çıktığı söylenebilir, değiş tokuş gereksinmesi, ticaret yapma isteği, toprak ölçme sorunları, insanları ilk matematik kavramlarını işleme ve kullanmaya yöneltmiştir. Yunanlılardan çok önce Sümer ve Mısır matematiklerinin varlığını gösteren belgelerden, alan hesabının, hattâ bazı çizgisel denklemlerin özel bir yazma biçimine başvurmadan pratik yoldan çözümünün bilindiği anlaşılmaktadır. Eski Yunanistan`da, Pythagoras, Thales, Eukleides ve Arkhimedes gibi eski birçok ünlü matematikçi yetişmiş tir. Elemanlar adlı ilk matematik yapıtını yazan Eukleides, bu yapıtında, o dönem matematiğinin yöntemli ve eksiksiz bir açıklamasını vermeye çalışmıştır (ama bu açıklama, yalnızca, eski Yunanlıların iyi bildikleri geometri ve aritmetik dallarıyla sınırlıdır). Eukleides`ten sonra, cebir dalını eski Yunan matematikçisi Diophantos, daha sonra da Arap matematik çileri geliştirmişler, cebiri en geç Avrupa öğrenmiştir. Eski Yunanlıların niteliğini anlayamadıkları orandışı sayılar, XVIII. yy`da kullanılmakla birlikte, yeterli bir tanı mı yapılamamış, buna karşılık daha XVII. yy`da, Descartes, geometri ile cebiri birleştiren analitik (çözümleyici) geometriyi geliştirmiştir. Gerçek sayıların ve gerçek değişkenli fonksiyonların özelliklerini inceleyen matematiksel çözümleme, Fermat, Leibniz ve Newton`un araştırmaları sonucunda ortaya çıkmış, gezegenlerin hareketlerini akılcı biçimde betimleme olanağı veren diferansiyel ve entegral he
matematiksel kümeler
Matematikte küme, `eleman` adı verilen, kesin olarak tanımlanamayan, nesne öbekleşmesiyle ilgili sezgisel düşünceye karşılık olan kavramı belirtir. Kümeler kuramı, her matematiksel yapının temelinde bulunur ve sözcük dağarcığı, modern matematiğin dilimini oluşturur. Aynı zamanda yürütülen iki tür araştırma, matematikçileri kümeleri incelemeye yöneltmiştir. Bu araştırmaların en eskisi, dil ve düşünceyi biçimselleştirmeye olanak sağlayan bir düzen bulma çabasıdır. Bu alanda çalışan bilginlerin başlıcaları, Leibniz ve George Boole`dur Matematiksel çözümleme ve cebir yöntemlerinden esinlenerek mantığı biçimselleştirmeyi amaç alan Boole, modern mantığın gerçek yaratıcısı sayılabilir. XIX. yy`da Bolzano, özellikle de Cantor gibi matematikçilerle araştırma, matematiksel çözümlemenin temellerine, yan fonksiyonları .
“Matematikte küme, `eleman` adı verilen, kesin olarak tanımlanamayan, nesne öbekleşmesiyle ilgili sezgisel düşünceye karşılık olan kavramı belirtir. Kümeler kuramı, her matematiksel yapının “
Matematikte küme, `eleman` adı verilen, kesin olarak
Matematikte küme, `eleman` adı verilen, kesin olarak tanımlanamayan, nesne öbekleşmesiyle ilgili sezgisel düşünceye karşılık olan kavramı belirtir. Kümeler kuramı, her matematiksel yapının temelinde bulunur ve sözcük dağarcığı, modern matematiğin dilimini oluşturur. Aynı zamanda yürütülen iki tür araştırma, matematikçileri kümeleri incelemeye yöneltmiştir. Bu araştırmaların en eskisi, dil ve düşünceyi biçimselleştirmeye olanak sağlayan bir düzen bulma çabasıdır. Bu alanda çalışan bilginlerin başlıcaları, Leibniz ve George Boole`dur Matematiksel çözümleme ve cebir yöntemlerinden esinlenerek mantığı biçimselleştirmeyi amaç alan Boole, modern mantığın gerçek yaratıcısı sayılabilir. XIX. yy`da Bolzano, özellikle de Cantor gibi matematikçilerle araştırma, matematiksel çözümlemenin temellerine, yan fonksiyonları ve gerçek sayıları incelemeye yönelmiş, Cantor, çalışmalarında sonsuz kümeleri ve kümelerin eşdeğerliliğini inceleyerek, modern kümeler kuramının başlangıcı ve hareket noktası sayılabilecek bir yapı oluşturmuştur. Kümeleri incelerken eleman sözcüğünden ve `.........nın elemanıdır` ya da ` ...................ye aittir` biçiminde okunan `e` simgesinden yararlanılabilir; tanımlanması olanaksız bu sözcüklerin, ancak kullanım kuralları verilebilir. Sözgelimi `bir küme, bir nesnelertopluluğudur` ifadesi, soruna yeterli bir açıklama getirmez; çünkü bu kez, topluluk ve nesne sözcüklerini tanımlamak gerekir. Bir a elemanının E kümesinin elemanı olduğunu ya da a`nın E`ye ait olduğunu belirtmek için a e E ifadesi yazılır; a`nın E kümesinin bir elemanı olmadığını göstermek için de, a |£( A ifadelerinden yalnız biri geçerlidir. Bir küme, elemanları verilerek tanımlanır; iki kümenin eşit olması içinse, aynı elemanlardan oluşması gerekli ve yeterlidir. Ayrıca, bir A kümesi ve P özelliği verilmiş se, A`nın elemanlarından oluşan ve P özelliği taşıyan bir B kümesi tanımlanabilir. Birkaç küme örneği vermek gerekirse: Abecenin harflerinin kümesi, A= ja, b, c, ç, d, e, f, g, ğ, h, ı, i, j, k, I, m, n, o, ö, p, r, s, ş, t, u, ü, v, y, z}, N doğal tamsayılar kümesi, N= jO, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} kümesi; bu kü me {X e N, X <12| biçiminde yazılabilir ve `N`nin 12`den küçük elemanlarının kümesi` diye okunur. Bütün elemanları bir A kümesinin elemanları olan B kümesi, A`nın bir altkümesi ya da parçasıdır ve Bc A bi çiminde yazılır. Dolayısıyla, bir küme, kendisinin altkü- mesidir denebilir. Son olarak,|hiçbirelemanı olmayan ve 0 simgesiyle belirtilen boş bir kümenin varlığı da benimsenmektedir. Bir elemanı bir noktayla göstermek ve kümenin elemanlarını kapalı bir eğri içine almak, kolaylık sağlar. Bu tür gösterilişe `Venn diyagramı` ya da `Euler diyagramı` adı verilir. Lewis Carroll da, kümeyi bir kareyle göstermiş ve bir altkümenin elemanlarını, bu altkümeye ait olmayan elemanlardan bir çizgiyle ayırmıştır. Bu şemalar yalnızca matematiksel nesneleri tasarlama olanağı verir; ama kümeleri ve elemanları belirtemez. Parçaların (altkümelerin) kümesi. İki elemanlı {a, b} kü mesinde dört altküme ya da parça vardır; bu parçalar 0 , {a}, {b}, ja,b}dir. Üç elemanı olan {a, b, cjkümesininse sekiz `altkümesi bulunur: 0 , {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}. Görüldüğü gibi, her eleman artışında, parçaların ya da altkümelerin sayısı iki katına çıkar. Dolayısıyle, n elemanı bulunan bir kümenin 2n parçası vardır. PARÇALAR KÜMESİNDE CEBİR Bir kümenin parçalarını eleman alan bir küme göz önü ne alındığında, bu kümede Boole cebirini oluşturan iş lemler tanımlanabilir. Bir kümenin tümleri. Bir kümede bir parça (altküme) tanımlamak, aynı zamanda kalan elemanlardan oluşmuş bir tümler parça tanımlamak demektir. (Dolayısıyla, N doğal tamsayılar kümesinde, çift sayılar altkümesinin tümleri, tek sayılar altkümesidir. E`nin parçası olan bir A kümesinin tümleri, E kümesinin A`da bulunmayan elemanlarıyla kurulmuş kümedir. A`nın tümleri genellikle A ya da CEA biçiminde belirtilir. Yukarda verilen tanım şu biçimde yazılır: A = |X eE, x ı£ A}. Tümler kavramı, üç elemanlı kümede altkümeleri ikişer ikişer birbirine bağlamaktadır. 0 j< ---------> {a, b, c} {a} < --------- > |b, c} bj < ---------> {a, c jc} < --------- > {a, b| Ayrıca, A kümesinin tümlerinin tümleri, A kümesinden başka şey değildir; E kümesinin kendisine göre tümleriyse, 0 boş kümesidir. İki kümenin arakesiti. A ve B kümelerinin AiiT B arakesiti A ile B`nin ortak elemanlarından oluşan kümedir ve şu biçimde yazılır: A D B = {x e E, x e A ve x e B|. Sözgelimi A = {18, 9, 6, 3, 2,1} ve B =|{45,15,9,5,3,1} olursa A fi B = {9, 3, 1} olur. İki kümenin bileşimi. A ve B kümelerinin A U B bileşimi, A ile B`nin bütün elemanlarından oluşan kümedir ve şöyle yazılabilir: A U B = {x e E, x e A ya da x e B} Arakesitte verilen aynı sayısal örnek alınırsa, A U B = {45, 18, 15, 9, 6, 5, 3, 2, 1} elde edilir. Bir kümenin parçaları söz konusu olduğundan, arakesit bileşimine göre, bileşim de arakesite göre dağılmalıdır: A U (B D C) = (A U B) D (A U C), ve A fi (B U C)= (a n B) u (A n o. İki kümenin bakışımlı farkı. A ve B kümelerinin A AIB bakışımlı farklı, ya A kümesine ya B kümesine ait olan, ama asla ikisine birden ait olmayan elemanların oluş turduğu kümedir. Yukarda sözü geçen örneğe göre, AAB = {45, 15, 18, 5, 6, 2} elde edilir. İki kümenin bileşiminin tümleri, bu kümelerin tümlerinin arakesitine eşittir; arakesitlerinin tümleriyse, kü melerin tümlerinin bileşimine eşittir. Bu tanımlar Morgan yasalarıdır ve aşağıdaki biçimde yazılır: A U B = A D B, ve A D B = A U B Bileşim ve arakesit işlemleriyle donatılmış bir E kü mesinin parçalarının kümesi, Boole cebirini oluşturur. Bir E kümesinin parçalanması. Bir E kümesinin parçalar ya da altkümeler sınıfı, iki farklı parçanın ortak elemanları yoksa ve E`nin her elemanı bir başka parçada yeralmışsa, E`nin parçalanmasını oluşturur. Matematiksel parçalama bir sınıflandırmadır ve bütün nesneler ya da elemanlar, bir yerde yalnızca bir kez yeralmak zorundadır. BAĞINTILAR İki kümenin kartezyen çarpımı. İki A ve B kümesi ele alındığında: A = {as, papaz, dam, vale, onlu, dokuzlu}; B = {sinek, kare, kupa, maça} Bu iki kümenin kartezyen çarpımı yapılabilir; yani A`nın bir elemanıyla B`nin bir elemanından oluşmuş çiftlerin kümesi elde edilebilir. Bu çarpım kümesi, A x B ifadesiyle gösterilir. Düzlem üstünde kartezyen koordinatlar, kümelerin çarpımının bir örneğini verir ve işlem, R gerçek sayılar kümesinin kendisiyle çarpımıdır. Kümeler arasında ikili bağıntılar. Bağıntıların kuruluşu bir başlangıç ya da kaynak kümesini, bir varış ya da amaç kümesini ve bir çiftler kümesini, yani ilk iki kümenin kartezyen çarpımının altkümesini varsayar. Kaynak kümesinin birinci elemanı ile varış kümesinin ikinci elemanının oluşturduğu çift, verilen çarpımın altkümesinde bulunursa, bu iki eleman arasında bağıntı vardır denir. İkili bir bağıntı birçok biçimde, sözgelimi bir çizelgeyle ya da Venn diyagramıyla gösterilebilir. Bir bağıntının karşıt bağıntısı, görevler ters çevrilerek elde edilir: Başlangıç kümesi varış, varış kümesi de baş langıç kümesi olur; karşıt bağıntı çiftlerinin kümesi, çiftlerden her birinin iki bileşeni değiş tokuş edilerek oluş turulur. İki bağıntıyı grafik olarak birleştirme olanağı vardır: Bileşik bağıntıyı elde etmek için bu bileşimin olanak verdiği okları uç uca getirmek yeterlidir. Bir kümenin kendisine dönük bağıntıları. Başlangıç ve varış kümeleri özdeş olmak koşuluyla, bağıntılar aşağı daki özelliklerden birini ya da ötekini taşır: X elemanı ne olursa olsun, (X, X) çifti bağıntıya tekabül eden çiftler kümesinde bulunursa, bağıntı yansımalıdır; X ve y elemanları ne olursa olsun, (X, y) çifti hem çiftler kümesinin, hem bağıntının elemanıysa, bağıntı bakı şımlıdır; herhangi (X, y) çifti, çiftler kümesine ait olur ve bağıntı da bulunmazsa, bağıntı bakışımsızdır; (X, y) ve (y, z) çiftleri, çiftler kümesine ait olduğunda, (x, z) çifti aynı kümede bulunursa, bağıntı geçişlidir. Eşdeğerlik bağıntıları ile sıra bağıntıları birbirinden ayrılır. Eşdeğerlik bağıntısının yansımalı, bakışımlı ve geçişli olma özelliği vardır. Eşitlikle gösterilen bütün ba ğıntılar buna örnek verilebilir. Sıra bağıntılarıysa yansı malı, bakışımsız ve geçişlidir. Doğal tamsayıların N kü mesinde/ |< (küçük ya da eşit) işaretiyle gösterilen ya da `katıdır` ifadesiyle belirtilen bağıntılar, sıra bağıntıları dır. BİR KÜMENİN BİR BAŞKA KÜME İÇİNDEKİ UYGULAMASI Uygulama, başlangıç kümesinin her elemanını, varış kümesinin bir tek elemanıyla birleştiren özel bir bağıntı dır. Sözgelimi başlangıç kümesi E = {a, b, c, d, e} ve varış kümesi F= |x, y, z, t} olursa, uygulama {(a,y), (b,t), (c,z),(d,x), (e,t)} çiftler kümesiyle tanımlanır. Başlangıç ve varış kümeleri doğal tamsayıların N kü mesi olursa, her tamsayıyı üçlüsüyle birleştiren bir uygulama göz önüne alınır. İki uygulamanın bileşimi. B kümesinde A kümesinin f uygulaması ve C kümesinde B kümesinin g uygulaması varsa, bu iki uygulamanın g o f bileşimi, A`nın C`deki bir uygulamasıdır ve A`nın her elemanını, B`deki karşılığı- . nın karşılığıyla birleştirir. 1 Bir E kümesinin F kümesindeki uygulaması, E`nin iki ayrı elemanının iki ayrı görüntüsü sürekli F`de bulunujyorsa ya da F`nin herhangi bir elemanı E`nin en çok bir | elemanının görüntüsü olursa, `enjektifl uygulama` ya ı da `enjeksiyon` diye adlandırılır. Ayrıca, iki enjektif uygulamanın bileşimi yine bir enjeksiyondur. E kümesinin F kümesindeki uygulamasına, F`nin her elemanı E`nin en az bir elemanının görüntüsü olursa, `sürjektif uygulama` ya da `sürjeksiyon` denilir; iki sürjektif uygulamanın bileşimi de bir sürjeksiyondur. Hem enjektif, hem de sürjektif olan bir uygulamaya, `bijeksiyon` (tameşleme) ya da `bijektif uygulama` adı verilir ve bijektif iki uygulamanın bileşimi de bir bijeksiyondur. Başlangıç kümesinin eleman sayısı n ile, varış kümesinin eleman sayısı p ile gösterilirse, bu iki küme arasınK i r K ü p l/c ıv /i^ r» k ı ı l ı ı n m o c ı i/~ir» n = r û n i û l / c n K ı ı- u cS k j 11 k / ı j C K j ı y u ı ı l / u i u i ıı ı i u j i M yiıı 1 1 f-/^ v-ı ı j ^ ı j ı j ı v ı 1 lunması için n < p ve sürjeksiyon bulunması için n > p olması zorunludur. Bir uygulamanın karşıtı. Genellikle bir uygulamanın karşıtı bir bağıntıdır; ama bir uygulama değildir. Uygulama olması için, varış kümesindeki her elemanın, baş langıç kümesinin bir tek elemanının görüntüsü olması gerekir; böyle bir koşulsa, başlangıç uygulamasının bijeksiyon olmasını zorunlu kılar. Bu kavramlar, modern matematiğin bütün alanlarında kullanılan temel kavramlardır ve çok çeşitli bilim dallarında yararlanılır.